圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱的侧面展开图是一个矩形。如果圆柱的底面半径为 r ，母线长为 l ，那么圆柱的底面面积为 πr2，侧面面积为 2πrl 。圆柱的表面积为
S = 2 π r2 + 2 π r l= 2 π r ( r + l )
圆柱和圆锥展开图
圆锥的侧面展开图是一个扇形。如果圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，圆锥的表面积为
S = π r 2 + π r l = π r ( r + l )
圆台的侧面展开图是一个扇环，它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即
S = π ( r'2 + r2 + r'l+ r l )
圆台展开图
柱体、锥体与台体的体积
柱体的体积为 V = S h
锥体(圆锥和棱锥)的体积为同低等高的柱体(圆柱和棱柱)的三分之一，即
椎体的体积公式
台体的体积为
台体的体积公式
设球的半径为R，它的体积是以R为自变量的函数。
球的体积
球的表面积S也是以R为自变量的函数。
球的表面积
证明题
祖暅原理 : “幂势既同，则积不容异”。“ 幂 ”即面积，“ 势 ”即高，这原理是说，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那这两个几何体的体积一定相等。
祖暅原理
根据祖暅原理可推导出，等底面积等高的两个椎体的体积相等。
用祖暅原理推导几何体的体积公式
设有底面积都等于S，高都等于h的两个锥体(或柱体)，使它们的底面在同一平面内。根据祖暅原理，可推导出它们的体积相等。
① ②
根据图 ② 可得三棱锥的体积等于棱柱体积的三分之一。
椎体的体积公式
应用祖暅原理研究半球(半径为R)的体积计算:
设平行于大圆且与大圆的距离为 ι 的平面截半球所得圆面的半径为 r，r = √( R2-ι2 )，于是截面面积
S1 = π r2 =π (R2-ι2) = πR2 - πι2
S1 可以看成是在半径为 R 的圆面上挖去一个半径为 l 的同心圆，所得圆环的面积。
半圆的体积研究
取一个底面半径和高均为 R 的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与半球放在同一水平面上。用任一水平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面，圆环大圆半径为 R ，小圆半径为 ι，则面积S2 = πR2-πι2=π (R2-ι2)，则 S1 = S2 。根据祖距原理，这两个几何体体积相等。
球的体积
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